Liệu vô cùng có bằng vô cùng?

Posted on: 17/12/2018

Chắc hẳn bạn đọc PiMA vẫn còn nhớ cuộc tranh luận gay gắt giữa Linh và Trung về số phần tử của tập số tự nhiên và tập số chính phương. Sau khi cả hai quyết định đi hỏi ý thầy giáo thì thầy bảo rằng hai tập đó có lực lượng bằng nhau (tức có một tương ứng một - một giữa hai tập này) nhưng không giải thích lí do tại sao.

Trung, người trước đó đã khẳng định rằng tập số tự nhiên có nhiều phần tử hơn, vẫn chưa thấy thuyết phục bởi câu trả lời trên nên cậu quyết định lên mạng tự tìm hiểu và thấy kết quả đúng như lời của thầy giáo. Ngoài ra, trong lúc tìm hiểu thì Trung bắt gặp một câu hỏi tổng quát hơn vấn đề trên và quyết định tiếp tục thảo luận với Linh: “Hai tập vô hạn bất kì có lực lượng bằng nhau không?”.

Linh lập tức trả lời: “Dĩ nhiên là có rồi! Điển hình là ví dụ về tập số tự nhiên và tập số chính phương hôm trước chúng ta tranh luận đấy. Cả hai đều có số phần tử là vô cùng!”

Trung liền phản bác: “Vậy còn tập số thực và tập số tự nhiên thì sao? Chúng đều có vô hạn phần tử nhưng một nhà toán học người Đức Georg Cantor đã chứng minh được lực lượng tập số tự nhiên nhỏ hơn lực lượng tập số thực (tức tồn tại một đơn ánh từ N đến R nhưng không tồn tại tương ứng một - một giữa chúng).”

Đến đây thì cả hai đã nhận ra không phải hai tập vô hạn nào cũng có lực lượng bằng nhau. Nhưng cuộc tranh luận vẫn chưa dừng lại! Với khả năng mở rộng vấn đề tuyệt vời của mình, Linh đặt câu hỏi ngược lại cho Trung: “Vậy có tập vô hạn X nào có lực lượng lớn hơn lực lượng của tập số tự nhiên và bé hơn lực lượng của tập số thực hay không?”

Nếu là Trung thì bạn sẽ trả lời câu hỏi của Linh như thế nào? Liệu tập X mà Linh đề cập có tồn tại không? Nếu có thì đó là tập gì?